mathématiques approfondies (ECG 2e année) · Chapitre 2 · Exercice d'entraînement

Les vecteurs propres de $A$ et ceux de $A^2$

Éléments propres et polynômes annulateurs · Familles de vecteurs propres · ★★★ niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$. Montrer que tout vecteur propre de $A$ est vecteur propre de $A^2$. La réciproque est-elle vraie ? On étudiera $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$.

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.