Les vecteurs propres de $A$ et ceux de $A^2$

Le sens direct. Soit $X\ne 0$ tel que $AX=\lambda X$. Alors $$A^{2}X=A(AX)=A(\lambda X)=\lambda (AX)={\lambda }^{2}X.$$ Donc $X$ est vecteur propre de $A^2$, associé à ${\lambda }^2$. C'est le théorème de transport des éléments propres appliqué au polynôme $Q=x^2$.

La réciproque est fausse. Prenons $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$. On calcule $$A^2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2.$$ Pour $A^2=I_2$, toute colonne non nulle est vecteur propre, associée à la valeur propre $1$ : en particulier $X={}^t(1,0)$.

Mais $X$ n'est pas propre pour $A$. On calcule $$AX=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right).$$ S'il existait $\lambda$ avec $AX=\lambda X$, on aurait ${}^t(0,1)=\lambda {}^t(1,0)$, donc $0=\lambda$ par la première coordonnée et $1=0$ par la seconde : impossible. Donc $X$ est vecteur propre de $A^2$ sans l'être de $A$.

Ce qui se passe vraiment. Les vrais vecteurs propres de $A$ sont ${}^t(1,1)$, associé à $1$, et ${}^t(1,-1)$, associé à $-1$ — on le vérifie directement. En passant au carré, ces deux valeurs propres deviennent toutes deux $1$ : le sous-espace propre fusionne et devient ${\mathbb{R}}^2$ tout entier, où entrent des vecteurs qui n'étaient propres pour aucune valeur de $A$.

La leçon. Élever au carré ne peut qu'agrandir les sous-espaces propres, jamais les réduire ; l'information sur les directions propres se perd en chemin.