Pourquoi le vecteur nul n'est jamais propre

Le fait de base. Pour toute application linéaire $f$ et tout réel $\lambda$, $$f(0_E)=0_E=\lambda \cdot 0_E,$$ la première égalité parce qu'une application linéaire envoie le vecteur nul sur le vecteur nul, la seconde parce que $\lambda \cdot 0_E=0_E$ quel que soit $\lambda$.

Ce que cela coûterait. Si l'on autorisait $x=0$ dans la définition, alors tout réel $\lambda$ vérifierait la relation $f(x)=\lambda x$ avec $x=0$, et serait donc déclaré valeur propre. Le spectre de n'importe quel endomorphisme serait $\mathbb{R}$ tout entier : la notion ne distinguerait plus rien et ne servirait à rien.

Sur l'exemple. Pour $f={\mathrm{Id}}_{{\mathbb{R}}^2}$, on a $f(0,0)=(0,0)=7\cdot (0,0)$. Avec la définition affaiblie, $7$ serait valeur propre de l'identité — de même que $-3$, ou $\pi$. Or la bonne définition donne $\mathrm{Sp}(f)=\{1\}$ : en effet $f(x)=\lambda x$ avec $x\ne 0$ s'écrit $x=\lambda x$, soit $(1-\lambda )x=0$, d'où $\lambda =1$ puisque $x\ne 0$.

Ce qui reste vrai. Le vecteur nul appartient toujours au sous-espace propre $E_{\lambda }(f)=\ker (f-\lambda {\mathrm{Id}}_E)$ : c'est un noyau, donc un sous-espace vectoriel, et il contient $0_E$. La distinction est là, et il faut la tenir : $0_E$ est dans $E_{\lambda }(f)$ sans être un vecteur propre.