Somme des dimensions

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 2 — Éléments propres et polynômes annulateurs · Propriétés générales du spectre

Énoncé

Soit $f$ un endomorphisme de $R^{4}$ ayant pour valeurs propres $1$ , $2$ et $3$ , avec $dim E_{1} (f) = 2$ et $dim E_{2} (f) = 1$ . Que peut-on dire de $dim E_{3} (f)$ ?

Corrigé

Le sous-espace propre associé à une valeur propre est toujours de dimension au moins $1$ (sinon la valeur ne serait pas propre), donc $dim E_{3} (f) ⩾ 1$ .

Par le théorème de la somme directe,

$dim E_{1} (f) + dim E_{2} (f) + dim E_{3} (f) ⩽ dim (R^{4}) = 4,$

soit $2 + 1 + dim E_{3} (f) ⩽ 4$ , d'où $dim E_{3} (f) ⩽ 1$ .

Les deux encadrements se rejoignent : $dim E_{3} (f) = 1$ .

En prime. La somme vaut alors $2 + 1 + 1 = 4 = dim (R^{4})$ : les sous-espaces propres remplissent tout l'espace, donc $f$ est diagonalisable. On l'a obtenu sans jamais écrire la matrice de $f$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.