Spectre d'un polynôme en $f$

Première partie. $Q(-1)=1+1=2$ et $Q(2)=4-2=2$. Un vecteur propre de $f$ pour $-1$ est donc vecteur propre de $Q(f)$ pour $2$ : ainsi $2\in \mathrm{Sp}(Q(f))$.

Remarquable. Les deux valeurs propres de $f$ donnent la même valeur propre pour $Q(f)$ : le polynôme les a confondues. Un polynôme en $f$ peut avoir strictement moins de valeurs propres que $f$.

Seconde partie. $Q(f)$ n'est pas injectif signifie $0\in \mathrm{Sp}(Q(f))$, c'est-à-dire qu'il existe $x\ne 0$ avec $f^2(x)=f(x)$. Si $x$ est vecteur propre de $f$ pour $\lambda$, cela impose ${\lambda }^2=\lambda$, donc $\lambda \in \{0,1\}$. Réciproquement, si $0$ ou $1$ est valeur propre de $f$, de vecteur propre $x$, alors $Q(f)(x)=Q(\lambda )x=0$ et $Q(f)$ n'est pas injectif.

Ici $\mathrm{Sp}(f)=\{-1,2\}$ ne contient ni $0$ ni $1$ : $Q(f)$ est donc injectif, et $\mathrm{Sp}(Q(f))=\{2\}$.