mathématiques approfondies (ECG 2e année) · Chapitre 2 · Exercice
Spectre par polynôme annulateur
Éléments propres et polynômes annulateurs · Polynômes annulateurs · niveau 2
Énoncé
Soit un endomorphisme d'un espace non nul vérifiant . Quelles sont les valeurs propres possibles de ?
Corrigé
, donc est annulateur. Par le théorème, .
Attention à la question posée. On demande les valeurs possibles : rien ne garantit que les trois soient atteintes. Pour , on a bien et pourtant . Pour , .
La méthode. Un polynôme annulateur donne toujours une inclusion, jamais une égalité. Pour conclure qu'une racine est effectivement valeur propre, il faut exhiber un vecteur propre.
