Spectre par polynôme annulateur

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 2 — Éléments propres et polynômes annulateurs · Polynômes annulateurs

Énoncé

Soit $f$ un endomorphisme d'un espace $E$ non nul vérifiant $f^{3} = f$ . Quelles sont les valeurs propres possibles de $f$ ?

Corrigé

$f^{3} - f = 0$ , donc $Q (x) = x^{3} - x = x (x - 1) (x + 1)$ est annulateur. Par le théorème, $Sp (f) \subset {0, 1, - 1}$ .

Attention à la question posée. On demande les valeurs possibles : rien ne garantit que les trois soient atteintes. Pour $f = Id_{E}$ , on a bien $f^{3} = f$ et pourtant $Sp (f) = {1}$ . Pour $f = 0$ , $Sp (f) = {0}$ .

La méthode. Un polynôme annulateur donne toujours une inclusion, jamais une égalité. Pour conclure qu'une racine est effectivement valeur propre, il faut exhiber un vecteur propre.

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