Un endomorphisme de polynômes

C'est bien un endomorphisme. Si $\mathrm{deg}P⩽2$, alors $\mathrm{deg}(x{P}^{\prime })⩽2$ : $f$ envoie ${\mathbb{R}}_2[x]$ dans lui-même, et la linéarité vient de celle de la dérivation.

L'équation aux éléments propres. Écrivons $P=a+bx+c{x}^2$. Alors $P^{\prime }=b+2cx$ et $f(P)=bx+2c{x}^2$. L'égalité $f(P)=\lambda P$ s'écrit, en identifiant les coefficients de $1$, $x$ et $x^2$ : $$0=\lambda a,b=\lambda b,2c=\lambda c.$$

On discute selon $\lambda$. Si $\lambda =0$, les deux dernières lignes donnent $b=c=0$ et $a$ reste libre : $E_0(f)=\mathrm{Vect}(1)$. Si $\lambda =1$, la première donne $a=0$ et la troisième $2c=c$ donc $c=0$ : $E_1(f)=\mathrm{Vect}(x)$. Si $\lambda =2$, de même $E_2(f)=\mathrm{Vect}(x^2)$. Et si $\lambda \notin \{0,1,2\}$, les trois lignes imposent $a=b=c=0$ : $\lambda$ n'est pas valeur propre.

Conclusion. $\mathrm{Sp}(f)=\{0,1,2\}$, et les trois sous-espaces propres sont les droites engendrées par $1$, $x$ et $x^2$.

Le point à retenir. Les vecteurs propres trouvés forment la base canonique de ${\mathbb{R}}_2[x]$ : dans cette base, la matrice de $f$ est $\mathrm{diag}(0,1,2)$. C'est exactement la situation que le chapitre 3 appellera « diagonalisable ».