Un endomorphisme de polynômes

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 2 — Éléments propres et polynômes annulateurs · Valeurs propres et sous-espaces propres

Énoncé

Soit $f$ l'application qui, à un polynôme $P$ de $R_{2} [x]$ , associe $f (P) = x P^{'} (x)$ . Vérifier que $f$ est un endomorphisme de $R_{2} [x]$ , puis déterminer son spectre et ses sous-espaces propres.

Corrigé

C'est bien un endomorphisme. Si $de g P ⩽ 2$ , alors $de g (x P^{'}) ⩽ 2$ : $f$ envoie $R_{2} [x]$ dans lui-même, et la linéarité vient de celle de la dérivation.

L'équation aux éléments propres. Écrivons $P = a + b x + c x^{2}$ . Alors $P^{'} = b + 2 c x$ et $f (P) = b x + 2 c x^{2}$ . L'égalité $f (P) = λ P$ s'écrit, en identifiant les coefficients de $1$ , $x$ et $x^{2}$ : $0 = λa, b = λb, 2 c = λ c .$

On discute selon $λ$ . Si $λ = 0$ , les deux dernières lignes donnent $b = c = 0$ et $a$ reste libre : $E_{0} (f) = Vect (1)$ . Si $λ = 1$ , la première donne $a = 0$ et la troisième $2 c = c$ donc $c = 0$ : $E_{1} (f) = Vect (x)$ . Si $λ = 2$ , de même $E_{2} (f) = Vect (x^{2})$ . Et si $λ \in / {0, 1, 2}$ , les trois lignes imposent $a = b = c = 0$ : $λ$ n'est pas valeur propre.

Conclusion. $Sp (f) = {0, 1, 2}$ , et les trois sous-espaces propres sont les droites engendrées par $1$ , $x$ et $x^{2}$ .

Le point à retenir. Les vecteurs propres trouvés forment la base canonique de $R_{2} [x]$ : dans cette base, la matrice de $f$ est $diag (0, 1, 2)$ . C'est exactement la situation que le chapitre 3 appellera « diagonalisable ».

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.