Un endomorphisme des matrices carrées

Un endomorphisme. $\phi$ va de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ dans lui-même, et pour $\lambda ,\mu \in \mathbb{R}$ et $M,N\in E$, la linéarité de la trace donne $$\phi (\lambda M+\mu N)=\mathrm{Tr}(\lambda M+\mu N)I_2=(\lambda \mathrm{Tr}(M)+\mu \mathrm{Tr}(N))I_2=\lambda \phi (M)+\mu \phi (N).$$

La composée. Comme $\mathrm{Tr}(I_2)=2$, $$\phi (\phi (M))=\mathrm{Tr}(\mathrm{Tr}(M)I_2)I_2=\mathrm{Tr}(M)\mathrm{Tr}(I_2)I_2=2\mathrm{Tr}(M)I_2=2\phi (M).$$ Donc ${\phi }^2=2\phi$, c'est-à-dire que $Q=x^2-2x=x(x-2)$ est un polynôme annulateur de $\phi$.

Les candidats, puis le spectre. Toute valeur propre est racine de $Q$, donc $\mathrm{Sp}(\phi )\subset \{0,2\}$. Il reste à tester ces deux candidats — une racine de $Q$ n'a aucune raison d'être valeur propre.

Le sous-espace $E_0$. $\phi (M)=0$ équivaut à $\mathrm{Tr}(M)I_2=0$, donc à $\mathrm{Tr}(M)=0$. Ainsi $E_0(\phi )$ est l'ensemble des matrices de trace nulle, noyau de la forme linéaire non nulle $\mathrm{Tr}$ : il est de dimension $2^2-1=3$. En particulier $E_0\ne \{0\}$, donc $0\in \mathrm{Sp}(\phi )$.

Le sous-espace $E_2$. $\phi (M)=2M$ s'écrit $M=\frac{1}{2}\mathrm{Tr}(M)I_2$ : toute matrice propre pour $2$ est un multiple de $I_2$. Réciproquement, $\phi (\alpha I_2)=\mathrm{Tr}(\alpha I_2)I_2=2\alpha I_2$. Donc $$E_2(\phi )=\mathrm{Vect}(I_2),\dim E_2(\phi )=1,$$ et $2\in \mathrm{Sp}(\phi )$. Finalement $\mathrm{Sp}(\phi )=\{0,2\}$, et $3+1=4=\dim E$.