Un endomorphisme dont le carré est l'identité

Le polynôme annulateur. L'hypothèse $s^2={\mathrm{Id}}_E$ s'écrit $s^2-{\mathrm{Id}}_E=0$, c'est-à-dire $Q(s)=0$ avec $$Q=x^2-1=(x-1)(x+1).$$

Les valeurs propres possibles. Toute valeur propre de $s$ est racine d'un polynôme annulateur. Les racines de $Q$ étant $1$ et $-1$, $$\mathrm{Sp}(s)\subset \{1,-1\}.$$ On peut le revoir directement : si $s(x)=\lambda x$ avec $x\ne 0$, alors $x=s(s(x))=s(\lambda x)=\lambda s(x)={\lambda }^{2}x$, donc $({\lambda }^2-1)x=0$ et, $x$ étant non nul, ${\lambda }^2=1$.

La bijectivité. La relation $s\circ s={\mathrm{Id}}_E$ dit exactement que $s$ admet $s$ pour application réciproque : $s$ est bijectif et $$s^{-1}=s.$$ En particulier $0\notin \mathrm{Sp}(s)$, ce qui est cohérent : $0$ n'est pas racine de $Q$, puisque $Q(0)=-1\ne 0$.

Une lecture. Un tel $s$ est une symétrie. Les deux candidats $1$ et $-1$ ne sont pas nécessairement atteints tous les deux : pour $s={\mathrm{Id}}_E$, on a $\mathrm{Sp}(s)=\{1\}$. Un polynôme annulateur donne une liste à tester, jamais une réponse toute faite.