Un endomorphisme sans valeur propre réelle

Le carré. $R^2=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)=-I_2$.

Le spectre. $Q(x)=x^2+1$ est annulateur, donc toute valeur propre en serait racine. Or $x^2+1$ n'a aucune racine réelle : $\mathrm{Sp}(r)=\varnothing$.

Vérification directe. Si $r(x)=\lambda x$ avec $x\ne 0$, alors $r^2(x)={\lambda }^{2}x$. Mais $r^2=-\mathrm{Id}$, donc ${\lambda }^{2}x=-x$, soit $({\lambda }^2+1)x=0$ avec $x\ne 0$ : ${\lambda }^2=-1$, impossible dans $\mathbb{R}$.

Géométriquement, $r$ est la rotation d'un quart de tour : elle ne laisse aucune droite en place. Un endomorphisme peut donc n'avoir aucune valeur propre — c'est impossible sur $\mathbb{C}$, mais le programme reste réel.