Un endomorphisme sans valeur propre réelle

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 2 — Éléments propres et polynômes annulateurs · Polynômes annulateurs

Énoncé

Soit $r$ l'endomorphisme de $R^{2}$ de matrice $R = (01 - 1 0)$ dans la base canonique. Montrer que $R^{2} = - I_{2}$ , puis que $Sp (r) = \emptyset$ .

Corrigé

Le carré. $R^{2} = (01 - 1 0) (01 - 1 0) = (- 1 0 0 - 1) = - I_{2}$ .

Le spectre. $Q (x) = x^{2} + 1$ est annulateur, donc toute valeur propre en serait racine. Or $x^{2} + 1$ n'a aucune racine réelle : $Sp (r) = \emptyset$ .

Vérification directe. Si $r (x) = λ x$ avec $x \neq = 0$ , alors $r^{2} (x) = λ^{2} x$ . Mais $r^{2} = - Id$ , donc $λ^{2} x = - x$ , soit $(λ^{2} + 1) x = 0$ avec $x \neq = 0$ : $λ^{2} = - 1$ , impossible dans $R$ .

Géométriquement, $r$ est la rotation d'un quart de tour : elle ne laisse aucune droite en place. Un endomorphisme peut donc n'avoir aucune valeur propre — c'est impossible sur $C$ , mais le programme reste réel.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.