Un polynôme annulateur de degré trois

Le polynôme annulateur. L'hypothèse s'écrit $Q(f)=0$ avec $$Q=x^3-2x^2-x+2.$$ On le factorise : $Q(1)=1-2-1+2=0$, donc $x-1$ divise $Q$, et la division donne $Q=(x-1)(x^2-x-2)=(x-1)(x-2)(x+1)$ — le trinôme $x^2-x-2$ ayant pour racines $2$ et $-1$, de somme $1$ et de produit $-2$.

Les candidats. Toute valeur propre de $f$ est racine d'un polynôme annulateur, donc $$\mathrm{Sp}(f)\subset \{-1,1,2\}.$$ Ce ne sont que des candidats : rien ne dit ici que les trois soient atteints. Pour $f={\mathrm{Id}}_E$, par exemple, on vérifie $f^3=\mathrm{Id}=2\mathrm{Id}+\mathrm{Id}-2\mathrm{Id}$ et pourtant $\mathrm{Sp}(f)=\{1\}$.

La bijectivité. Le point délicat est de lire l'inversibilité sur le terme constant de $Q$. Réécrivons la relation en isolant l'identité : $$f^3-2f^2-f=-2{\mathrm{Id}}_E,\text{soit}f\circ \left(-\frac{1}{2}{f}^2+f+\frac{1}{2}{\mathrm{Id}}_E\right)={\mathrm{Id}}_E.$$ La même composition dans l'autre ordre donne aussi ${\mathrm{Id}}_E$, les puissances de $f$ commutant entre elles. Donc $f$ est bijectif et $$f^{-1}=-\frac{1}{2}{f}^2+f+\frac{1}{2}{\mathrm{Id}}_E.$$

Contrôle. Cette conclusion est cohérente avec la précédente : $0$ n'est pas racine de $Q$ puisque $Q(0)=2\ne 0$, donc $0\notin \mathrm{Sp}(f)$, ce qui est exactement l'injectivité de $f$.