Un polynôme annulateur donné

Les candidats. Le polynôme $Q=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ est annulateur de $A$. Toute valeur propre de $A$ est racine d'un polynôme annulateur, donc $$\mathrm{Sp}(A)\subset \{2,3\}.$$ On ne peut pas dire mieux sans connaître $A$ : l'inclusion peut être stricte (pour $A=2I_n$, le spectre est $\{2\}$), et rien n'oblige les deux racines à être atteintes.

L'inversibilité. On isole $I_n$ dans la relation : $$A^2-5A=-6I_n⟹A(A-5I_n)=-6I_n⟹A\times \frac{5I_n-A}{6}=I_n.$$ La matrice $\frac{1}{6}(5I_n-A)$ est donc un inverse à droite de $A$ ; le même calcul avec les facteurs échangés (les deux matrices $A$ et $5I_n-A$ commutent) montre que c'est aussi un inverse à gauche. Ainsi $A$ est inversible et $$A^{-1}=\frac{1}{6}(5I_n-A).$$

Une seconde lecture. $Q(0)=6\ne 0$, donc $0$ n'est pas valeur propre : $\ker A=\{0\}$ et $A$ est inversible. Cet argument prouve l'inversibilité, mais ne donne pas l'inverse.

Le point à retenir. Un polynôme annulateur dont le terme constant est non nul rend toujours la matrice inversible, et l'inverse s'écrit comme un polynôme en $A$.