Un projecteur

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 2 — Éléments propres et polynômes annulateurs · Polynômes annulateurs

Énoncé

Soit $p$ un endomorphisme de $E$ vérifiant $p \circ p = p$ , avec $p \neq = 0$ et $p \neq = Id_{E}$ . Montrer que $Sp (p) = {0, 1}$ et que $E_{1} (p) = Im (p)$ .

Corrigé

Candidats. $Q (x) = x^{2} - x$ est annulateur, donc $Sp (p) \subset {0, 1}$ .

$1$ est atteinte. $p \neq = 0$ , donc il existe $y$ avec $x = p (y) \neq = 0_{E}$ . Alors $p (x) = p (p (y)) = p (y) = x$ : $x$ est vecteur propre pour $1$ .

$0$ est atteinte. $p \neq = Id_{E}$ , donc il existe $z$ avec $p (z) \neq = z$ . Posons $w = z - p (z) \neq = 0_{E}$ . Alors $p (w) = p (z) - p (p (z)) = p (z) - p (z) = 0_{E}$ : $w$ est vecteur propre pour $0$ .

$E_{1} (p) = Im (p)$ . L'inclusion $\subset$ est claire : si $p (x) = x$ alors $x = p (x) \in Im (p)$ . Réciproquement, si $x = p (y)$ , alors $p (x) = p (p (y)) = p (y) = x$ , donc $x \in E_{1} (p)$ .

Lecture. Un projecteur laisse son image intacte et écrase son noyau : c'est exactement ce que disent les deux valeurs propres $1$ et $0$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.