Un projecteur

Candidats. $Q(x)=x^2-x$ est annulateur, donc $\mathrm{Sp}(p)\subset \{0,1\}$.

$1$ est atteinte. $p\ne 0$, donc il existe $y$ avec $x=p(y)\ne 0_E$. Alors $p(x)=p(p(y))=p(y)=x$ : $x$ est vecteur propre pour $1$.

$0$ est atteinte. $p\ne {\mathrm{Id}}_E$, donc il existe $z$ avec $p(z)\ne z$. Posons $w=z-p(z)\ne 0_E$. Alors $p(w)=p(z)-p(p(z))=p(z)-p(z)=0_E$ : $w$ est vecteur propre pour $0$.

$E_1(p)=\mathrm{Im}(p)$. L'inclusion $\subset$ est claire : si $p(x)=x$ alors $x=p(x)\in \mathrm{Im}(p)$. Réciproquement, si $x=p(y)$, alors $p(x)=p(p(y))=p(y)=x$, donc $x\in E_1(p)$.

Lecture. Un projecteur laisse son image intacte et écrase son noyau : c'est exactement ce que disent les deux valeurs propres $1$ et $0$.