Un spectre et deux sous-espaces propres

Le spectre. $A$ est triangulaire supérieure, donc son spectre est l'ensemble de ses coefficients diagonaux : $$\mathrm{Sp}(A)=\{2,3\}.$$

Le sous-espace propre pour $2$. On résout $(A-2I_2)X=0$ avec $$A-2I_2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 1\end{array}\right).$$ Le système s'écrit $y=0$ (deux fois), la variable $x$ restant libre. Donc $$E_2(A)=\left\{\left(\begin{array}{c}x\\ 0\end{array}\right)|x\in \mathbb{R}\right\}=\mathrm{Vect}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),$$ et ${}^t(1,0)$ est un vecteur propre pour $2$. Contrôle : $A{}^t(1,0)={}^t(2,0)=2{}^t(1,0)$.

Le sous-espace propre pour $3$. Avec $$A-3I_2=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 0& 0\end{array}\right),$$ le système se réduit à $-x+y=0$, soit $y=x$. Donc $$E_3(A)=\mathrm{Vect}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),$$ et ${}^t(1,1)$ est un vecteur propre pour $3$. Contrôle : $A{}^t(1,1)={}^t(2+1,3)={}^t(3,3)=3{}^t(1,1)$.

Les dimensions. $\dim E_2(A)=\dim E_3(A)=1$, et leur somme vaut $2=\dim {\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R})$ — le maximum permis par le cours. C'est cohérent : deux valeurs propres distinctes en dimension $2$.