Une famille libre de vecteurs propres

Par le corollaire du cours, des vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes forment une famille libre : $(x_1,x_2,x_3)$ est libre.

Elle compte $3$ vecteurs et $\dim ({\mathbb{R}}^3)=3$ : par le théorème « la moitié du travail suffit » du chapitre 1, c'est une base.

Conséquence. Dans cette base, la matrice de $f$ est $\mathrm{diag}({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3)$ : $f$ est diagonalisable. C'est le critère le plus commode du chapitre 3, et il vient de se démontrer en trois lignes.