Une matrice de rang un et son spectre

Le rang. Les trois lignes sont proportionnelles à $(1,2,3)$ : la deuxième en est le double, la troisième le triple. L'image de $A$ est donc engendrée par une seule colonne — écrivons d'ailleurs, pour $X={}^t(x,y,z)$, $$AX=(x+2y+3z)\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right).$$ L'image est $\mathrm{Vect}({}^t(1,2,3))$, non nulle, donc $\mathrm{rg}(A)=1$.

La dimension de $E_0$. Par le théorème du rang appliqué à $A$ vue comme endomorphisme de ${\mathcal{M}}_{3,1}(\mathbb{R})$ : $$\dim E_0(A)=\dim \ker A=3-\mathrm{rg}(A)=3-1=2.$$ En particulier $\ker A\ne \{0\}$ : $0$ est valeur propre, avec $E_0(A)=\{X\mid x+2y+3z=0\}$, un plan.

La valeur propre $14$. Appliquons la formule encadrée à $X_0={}^t(1,2,3)$ : le facteur vaut $1+4+9=14$, donc $$A{X}_0=14X_0,$$ et $X_0\ne 0$ : $14$ est valeur propre, de vecteur propre $X_0$.

Le spectre complet. Soit $\lambda \in \mathrm{Sp}(A)$ et $X\ne 0$ tel que $AX=\lambda X$. La formule donne $\lambda X=(x+2y+3z)X_0$. Deux cas : ou bien $x+2y+3z=0$, et alors $\lambda X=0$ donc $\lambda =0$ ; ou bien $x+2y+3z\ne 0$, et alors $X$ est colinéaire à $X_0$, ce qui redonne $\lambda =14$. Donc $$\mathrm{Sp}(A)=\{0,14\}.$$

Contrôle par la trace. $\mathrm{Tr}(A)=1+4+9=14$, ce qui est cohérent : deux fois la valeur $0$ et une fois la valeur $14$.