Une matrice dont le carré est $-2I_2$

Le carré. $$A^2=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0\cdot 0+(-2)\cdot 1& 0\cdot (-2)+(-2)\cdot 0\\ 1\cdot 0+0\cdot 1& 1\cdot (-2)+0\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 0\\ 0& -2\end{array}\right)=-2I_2.$$

Le spectre de $A$ est vide. L'égalité $A^2+2I_2=0$ signifie que $Q=x^2+2$ est un polynôme annulateur de $A$. Toute valeur propre de $A$ est racine de $Q$ ; or $Q(\lambda )={\lambda }^2+2⩾2>0$ pour tout réel $\lambda$ : $Q$ n'a aucune racine réelle. Donc $$\mathrm{Sp}(A)=\varnothing .$$ On peut le revoir directement : si $AX=\lambda X$ avec $X\ne 0$, alors $A^{2}X={\lambda }^{2}X$, donc $-2X={\lambda }^{2}X$, d'où $({\lambda }^2+2)X=0$ et, $X$ étant non nul, ${\lambda }^2=-2$ — impossible dans $\mathbb{R}$.

Le sens qui tombe en défaut. $A^2=-2I_2$ est une homothétie : tout vecteur non nul en est vecteur propre, donc $\mathrm{Sp}(A^2)=\{-2\}$. Ainsi $\mu =-2$ appartient à $\mathrm{Sp}(A^2)$, et pourtant il n'existe aucun $\lambda \in \mathrm{Sp}(A)$ tel que ${\lambda }^2=\mu$ — pour la raison la plus simple : $\mathrm{Sp}(A)$ est vide.

Le point délicat. L'implication vraie va dans l'autre sens : $\lambda \in \mathrm{Sp}(A)\Rightarrow {\lambda }^2\in \mathrm{Sp}(A^2)$, par transport des éléments propres avec $Q=x^2$. La réciproque est fausse, et cet exemple le prouve.