Une matrice dont le cube est nul

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 2 — Éléments propres et polynômes annulateurs · Polynômes annulateurs

Énoncé

Soit $N \in M_{n} (R)$ telle que $N^{3} = 0$ et $N \neq = 0$ . Montrer que $Sp (N) = {0}$ , puis que $I_{n} - N$ est inversible et donner son inverse.

Corrigé

Le spectre est contenu dans ${0}$ . Le polynôme $Q = x^{3}$ est annulateur de $N$ , et sa seule racine est $0$ . Donc $Sp (N) \subset {0}$ .

Et $0$ y est vraiment. C'est le point délicat : une inclusion dans ${0}$ autorise encore le spectre vide. Si $0 \in / Sp (N)$ , alors $ker N = {0}$ , donc $N$ est injective, donc inversible en dimension finie ; en multipliant $N^{3} = 0$ par $(N^{- 1})^{3}$ on obtiendrait $I_{n} = 0$ , faux. Donc $Sp (N) = {0}$ .

L'inverse de $I_{n} - N$ . On développe, comme pour une somme géométrique : $(I_{n} - N) (I_{n} + N + N^{2}) = I_{n} + N + N^{2} - N - N^{2} - N^{3} = I_{n} - N^{3} = I_{n} .$ Les matrices $I_{n} - N$ et $I_{n} + N + N^{2}$ commutent (ce sont deux polynômes en $N$ ), donc le produit dans l'autre ordre vaut aussi $I_{n}$ . Ainsi $I_{n} - N$ est inversible et $(I_{n} - N)^{- 1} = I_{n} + N + N^{2} .$

Le point à retenir. Un polynôme annulateur donne des candidats, jamais le spectre : il a fallu un argument séparé — l'absurde sur l'injectivité — pour affirmer que $0$ était atteint. Et la même relation $N^{3} = 0$ qui écrase le spectre fabrique un inverse en trois termes.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.