Une matrice dont le cube est nul

Le spectre est contenu dans $\{0\}$. Le polynôme $Q=x^3$ est annulateur de $N$, et sa seule racine est $0$. Donc $\mathrm{Sp}(N)\subset \{0\}$.

Et $0$ y est vraiment. C'est le point délicat : une inclusion dans $\{0\}$ autorise encore le spectre vide. Si $0\notin \mathrm{Sp}(N)$, alors $\ker N=\{0\}$, donc $N$ est injective, donc inversible en dimension finie ; en multipliant $N^3=0$ par $(N^{-1}{)}^3$ on obtiendrait $I_n=0$, faux. Donc $\mathrm{Sp}(N)=\{0\}$.

L'inverse de $I_n-N$. On développe, comme pour une somme géométrique : $$(I_n-N)(I_n+N+N^2)=I_n+N+N^2-N-N^2-N^3=I_n-N^3=I_n.$$ Les matrices $I_n-N$ et $I_n+N+N^2$ commutent (ce sont deux polynômes en $N$), donc le produit dans l'autre ordre vaut aussi $I_n$. Ainsi $I_n-N$ est inversible et $$(I_n-N{)}^{-1}=I_n+N+N^2.$$

Le point à retenir. Un polynôme annulateur donne des candidats, jamais le spectre : il a fallu un argument séparé — l'absurde sur l'injectivité — pour affirmer que $0$ était atteint. Et la même relation $N^3=0$ qui écrase le spectre fabrique un inverse en trois termes.