Une matrice égale à son carré

Le carré. $$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 1+0\cdot 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right)=A.$$

Le polynôme annulateur. L'égalité $A^2-A=0$ s'écrit $Q(A)=0$ avec $$Q=x^2-x=x(x-1).$$ C'est donc un polynôme annulateur de $A$ — et il n'a pas été cherché, il se lit sur la relation $A^2=A$.

Les candidats. Toute valeur propre de $A$ est racine de $Q$, donc $$\mathrm{Sp}(A)\subset \{0,1\}.$$ Attention : à ce stade ce ne sont que des candidats, une racine de $Q$ n'ayant aucune raison d'être valeur propre.

La confirmation. $A$ est diagonale, donc triangulaire : son spectre est l'ensemble de ses coefficients diagonaux, à savoir $\{1,0\}$. Les deux candidats sont donc effectivement atteints, et $$\mathrm{Sp}(A)=\{0,1\}.$$

Une lecture. Une matrice vérifiant $A^2=A$ représente un projecteur : elle laisse fixe ce qui est déjà dans son image (valeur propre $1$) et écrase le reste (valeur propre $0$). Ici $E_1(A)=\mathrm{Vect}({}^t(1,0))$ et $E_0(A)=\mathrm{Vect}({}^t(0,1))$.