Une matrice et son inverse

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 2 — Éléments propres et polynômes annulateurs · Valeurs propres et sous-espaces propres

Énoncé

Soit $A \in M_{n} (R)$ inversible, de valeur propre $λ$ et de vecteur propre $X$ . Montrer que $λ \neq = 0$ et que $\frac{1}{λ}$ est valeur propre de $A^{- 1}$ , de même vecteur propre.

Corrigé

$λ \neq = 0$ . Si $λ$ valait $0$ , on aurait $A X = 0$ avec $X \neq = 0$ , donc $A$ ne serait pas inversible.

L'inverse. De $A X = λ X$ , on tire en multipliant à gauche par $A^{- 1}$ :

$X = λ A^{- 1} X, d’o u ˋ A^{- 1} X = \frac{1}{λ} X .$

Comme $X \neq = 0$ , c'est bien un vecteur propre de $A^{- 1}$ pour la valeur propre $\frac{1}{λ}$ .

Conséquence. $Sp (A^{- 1}) = {\frac{1}{λ} ∣ λ \in Sp (A)}$ , et les directions propres sont les mêmes. Inverser une matrice ne change pas ses directions privilégiées, seulement les facteurs.

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