Une matrice non nulle de carré nul

Le carré. $$N^2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0\cdot 0+1\cdot 0& 0\cdot 1+1\cdot 0\\ 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right).$$

Le polynôme annulateur. $N^2=0$ signifie $Q(N)=0$ avec $Q=x^2$, dont la seule racine est $0$. Donc $$\mathrm{Sp}(N)\subset \{0\}.$$

Le candidat est atteint. $N$ n'est pas inversible : sa seconde ligne est nulle, donc son rang vaut $1<2$. Son noyau n'est donc pas réduit au vecteur nul, et $0$ est bien valeur propre : $$\mathrm{Sp}(N)=\{0\}.$$

Le sous-espace propre. $E_0(N)=\ker N$. La relation $N{}^t(x,y)={}^t(y,0)$ montre que le noyau est l'ensemble des ${}^t(x,0)$, soit $$E_0(N)=\mathrm{Vect}({}^t(1,0)),\dim E_0(N)=1.$$

La compatibilité demandée. Il n'y a aucune contradiction : $\mathrm{Sp}(N)=\{0\}$ n'affirme pas que $N$ est nulle, mais seulement que $N$ écrase une direction. Ici $N{}^t(0,1)={}^t(1,0)\ne 0$ : la seconde direction n'est pas écrasée, elle est déplacée — et un vecteur déplacé hors de sa propre droite n'est pas un vecteur propre. Une matrice de spectre $\{0\}$ peut donc être non nulle.