Une racine qui n'est pas valeur propre

$Q$ est annulateur. $A$ est diagonale, donc pour tout polynôme $R$, la matrice $R(A)$ est diagonale de coefficients $R(1)$, $R(1)$, $R(2)$ — cela se lit sur $A^k=\mathrm{diag}(1,1,2^k)$ et se prolonge par combinaison linéaire. Ici $$Q(1)=0\times (-1)\times (-4)=0,Q(2)=1\times 0\times (-3)=0,$$ donc $Q(A)=\mathrm{diag}(Q(1),Q(1),Q(2))=0$ : $Q$ est bien annulateur de $A$.

Le spectre réel. $A$ est triangulaire (elle est même diagonale), donc son spectre est l'ensemble de ses coefficients diagonaux : $$\mathrm{Sp}(A)=\{1,2\}.$$ En particulier $5\notin \mathrm{Sp}(A)$, bien que $5$ soit racine de $Q$.

Le contrôle direct. On peut le voir sans invoquer le théorème : $A-5I_3=\mathrm{diag}(-4,-4,-3)$ est diagonale à coefficients tous non nuls, donc inversible, donc son noyau est réduit à $\{0\}$ et $E_5(A)=\{0\}$. Aucun vecteur propre pour $5$.

La leçon. L'inclusion $\mathrm{Sp}(A)\subset \{\text{racines de }Q\}$ est stricte en général : un polynôme annulateur fournit une liste de candidats, qu'il faut ensuite tester un par un. C'est le point délicat de la méthode.

Un annulateur de degré 2. Posons $Q_0=(x-1)(x-2)$. Alors $Q_0(1)=0$ et $Q_0(2)=0$, donc $Q_0(A)=\mathrm{diag}(0,0,0)=0$. On le vérifie aussi par le produit : $$(A-I_3)(A-2I_3)=\mathrm{diag}(0,0,1)\cdot \mathrm{diag}(-1,-1,0)=0.$$