Une valeur propre lue sur les sommes de lignes

Le cas particulier. Chaque ligne de $A$ a pour somme $2+1+1=4$. Posons $U=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$. La $i$-ème coordonnée de $AU$ vaut ${\sum }_{j=1}^3{a}_{i,j}\times 1$, c'est-à-dire la somme de la $i$-ème ligne, soit $4$. Donc $$AU=\left(\begin{array}{c}4\\ 4\\ 4\end{array}\right)=4U.$$ Comme $U\ne 0$, $4$ est valeur propre de $A$ et $U$ en est un vecteur propre.

Le cas général. Soit $M\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ dont toutes les lignes ont pour somme $s$, et $U$ la colonne dont les $n$ coefficients valent $1$. La $i$-ème coordonnée de $MU$ est ${\sum }_{j=1}^n{m}_{i,j}=s$, donc $MU=sU$. Le vecteur $U$ est non nul, donc $s\in \mathrm{Sp}(M)$.

Attention au sens. L'hypothèse porte sur les lignes, parce que c'est la ligne qui rencontre la colonne $U$ dans le produit $MU$. Une hypothèse sur les colonnes donnerait le même résultat pour ${}^{t}M$, pas pour $M$.

Le point à retenir. Multiplier par la colonne de $1$ additionne chaque ligne. Dès qu'un énoncé donne une matrice dont toutes les lignes ont la même somme, une valeur propre est acquise sans aucun calcul, et son vecteur propre est connu d'avance.