Vérifier qu'un vecteur est propre

Le premier vecteur. $$A{X}_1=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1+2\\ 2+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 3\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=3X_1.$$ Comme $X_1\ne 0$, c'est un vecteur propre de $A$ associé à la valeur propre $3$.

Le second vecteur. $$A{X}_2=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1-2\\ 2-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)=-1\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=-X_2.$$ Comme $X_2\ne 0$, c'est un vecteur propre associé à la valeur propre $-1$.

Le spectre. On a donc $\{3,-1\}\subset \mathrm{Sp}(A)$. Réciproquement, le cours affirme qu'un endomorphisme d'un espace de dimension $n$ possède au plus $n$ valeurs propres : ici $n=2$, et l'on en a déjà deux, distinctes. Donc $$\mathrm{Sp}(A)=\{3,-1\}.$$

Deux contrôles gratuits. La somme des valeurs propres, $3+(-1)=2$, coïncide avec $\mathrm{Tr}(A)=1+1=2$. Et $X_1$, $X_2$ étant associés à des valeurs propres distinctes, la famille $(X_1,X_2)$ est libre : c'est une base de ${\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R})$ formée de vecteurs propres.