Vérifier un vecteur propre

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 2 — Éléments propres et polynômes annulateurs · Valeurs propres et sous-espaces propres

Énoncé

Soit $f$ l'endomorphisme de $R_{2} [x]$ défini par $f (P) = P + P^{'}$ . Montrer que $1$ est valeur propre et déterminer $E_{1} (f)$ .

Corrigé

$f (P) = P$ équivaut à $P + P^{'} = P$ , c'est-à-dire $P^{'} = 0$ , donc $P$ constant.

Ainsi $E_{1} (f) = R_{0} [x] = Vect (1)$ , de dimension $1$ . Comme il contient un vecteur non nul, $1$ est bien valeur propre.

Le spectre entier. Dans la base $(1, x, x^{2})$ , la matrice de $f$ est $(100110021)$ , triangulaire de diagonale constante : $Sp (f) = {1}$ . Il n'y a donc pas d'autre valeur propre, et $dim E_{1} (f) = 1 < 3$ : cet endomorphisme ne sera pas diagonalisable.

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