Cauchy-Schwarz appliqué

Produit scalaire et espaces euclidiens · Inégalité de Cauchy-Schwarz · niveau 2

Énoncé

Soient $a, b, c$ trois réels. Montrer que $(a + b + c)^{2} ⩽ 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2})$ , et donner le cas d'égalité.

Appliquons Cauchy-Schwarz dans $R^{3}$ avec le produit canonique, à $x = (a, b, c)$ et $y = (1, 1, 1)$ :

$∣ a + b + c ∣ = ⟨ x, y ⟩ ⩽ ∥ x ∥ ∥ y ∥ = a^{2} + b^{2} + c^{2} \times 3 .$

En élevant au carré : $(a + b + c)^{2} ⩽ 3 (a^{2} + b^{2} + c^{2})$ .

Cas d'égalité. Il a lieu si et seulement si $x$ et $y$ sont colinéaires, c'est-à-dire $a = b = c$ .

Contrôle. Pour $a = b = c = 2$ : $36 ⩽ 3 \times 12 = 36$ , égalité. Pour $(a, b, c) = (1, 2, 3)$ : $36 ⩽ 3 \times 14 = 42$ , stricte.