Construire une base orthonormée de ${\mathbb{R}}^3$

Le premier vecteur. $\Vert u_1{\Vert }^2=1+1+1=3$, donc $$e_1=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,1,1).$$

Le second, redressé. On retire à $u_2$ sa part selon $e_1$ : $$⟨u_2,e_1⟩=\frac{1+1+0}{\sqrt{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}},v_2=u_2-⟨u_2,e_1⟩e_1=(1,1,0)-\frac{2}{3}(1,1,1)=(\frac{1}{3},\frac{1}{3},-\frac{2}{3}).$$ Contrôle : $⟨v_2,u_1⟩=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{2}{3}=0$, donc $v_2$ est bien orthogonal à $e_1$. Sa norme vaut $$\Vert v_2{\Vert }^2=\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{4}{9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3},\Vert v_2\Vert =\sqrt{\frac{2}{3}},$$ d'où, en multipliant $v_2$ par $3$ puis en normant, $$e_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,-2).$$

Le troisième vecteur. On cherche $w=(a,b,c)$ orthogonal à $e_1$ et $e_2$, c'est-à-dire $$a+b+c=0\text{et}a+b-2c=0.$$ En soustrayant : $3c=0$, donc $c=0$, puis $b=-a$. Le vecteur $(1,-1,0)$ convient ; sa norme vaut $\sqrt{2}$, donc $$e_3=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1,0).$$

Le contrôle final. Les trois vecteurs sont unitaires par construction, et deux à deux orthogonaux : $⟨e_1,e_2⟩\propto 1+1-2=0$, $⟨e_1,e_3⟩\propto 1-1+0=0$, $⟨e_2,e_3⟩\propto 1-1+0=0$. Une famille orthogonale sans vecteur nul est libre ; trois vecteurs libres dans ${\mathbb{R}}^3$ forment une base. Donc $(e_1,e_2,e_3)$ est une base orthonormée de ${\mathbb{R}}^3$.

Le point délicat. Le procédé n'est pas exigible en général, mais le geste l'est : retirer à un vecteur sa part selon les précédents, puis normer.