Coordonnées dans une base orthonormée

Exercice · niveau 2 · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 4 — Produit scalaire et espaces euclidiens · Familles orthogonales et bases orthonormées

Énoncé

Avec la base $B = ((0, 6; 0, 8), (0, 8; - 0, 6))$ de $R^{2}$ , donner les coordonnées de $x = (2, 1)$ .

Corrigé

La base est orthonormée (exercice précédent), donc les coordonnées sont des produits scalaires :

$x_{1} = ⟨ x, e_{1} ⟩ = 2 \times 0, 6 + 1 \times 0, 8 = 2, x_{2} = ⟨ x, e_{2} ⟩ = 2 \times 0, 8 + 1 \times (- 0, 6) = 1.$

Vérification. $2 e_{1} + 1 e_{2} = (1, 2; 1, 6) + (0, 8; - 0, 6) = (2; 1)$ .

Contrôle de la norme. $∥ x ∥^{2} = 4 + 1 = 5$ , et $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 4 + 1 = 5$ . Les deux coïncident, comme l'annonce le théorème.

Coïncidence remarquable : ici les coordonnées dans $B$ sont les mêmes que dans la base canonique. C'est un accident de cet exemple, pas une règle.

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