Découper un vecteur suivant une droite et son orthogonal

Existence et unicité. ${\mathbb{R}}^3=F\oplus F^{\perp }$ (théorème du supplémentaire orthogonal) : la décomposition existe et est unique.

On cherche $v$. Posons $a=(1,1,1)$. Comme $v\in F$, il existe $t$ tel que $v=ta$. La condition $w=u-v\in F^{\perp }$ s'écrit $⟨u-ta,a⟩=0$, c'est-à-dire $$⟨u,a⟩=t\Vert a{\Vert }^2.$$ Or $⟨u,a⟩=1+2+6=9$ et $\Vert a{\Vert }^2=1+1+1=3$, d'où $t=3$.

La décomposition. $$v=3(1,1,1)=(3,3,3),w=u-v=(1-3,2-3,6-3)=(-2,-1,3).$$ Contrôle. $⟨w,a⟩=-2-1+3=0$ : $w$ est bien orthogonal à $a$, donc à tout $F$ (par bilinéarité, être orthogonal à un générateur suffit).

Pythagore. $v$ et $w$ sont orthogonaux, donc $\Vert u{\Vert }^2=\Vert v{\Vert }^2+\Vert w{\Vert }^2$. On vérifie : $$\Vert u{\Vert }^2=1+4+36=41,\Vert v{\Vert }^2=9+9+9=27,\Vert w{\Vert }^2=4+1+9=14,$$ et $27+14=41$.

Le point à retenir. Sur une droite $\mathrm{Vect}(a)$, le morceau de $u$ qui vit dans $F$ vaut $\frac{⟨u,a⟩}{\Vert a{\Vert }^2}a$ : une seule division, aucun système. C'est le calcul qui reviendra sous le nom de projection orthogonale.