Des coordonnées lues dans une base orthonormée

Les deux normes. En notant $e_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)$ : $$\Vert e_1{\Vert }^2=\frac{1}{2}(1^2+1^2)=1,$$ et de même $\Vert e_2{\Vert }^2=\frac{1}{2}(1^2+(-1{)}^2)=1$. Les deux vecteurs sont unitaires.

L'orthogonalité. $$⟨e_1,e_2⟩=\frac{1}{2}(1\times 1+1\times (-1))=\frac{1}{2}(1-1)=0.$$ La famille est donc orthonormée ; elle est libre (une famille orthogonale sans vecteur nul l'est), et deux vecteurs libres dans ${\mathbb{R}}^2$ forment une base. C'est une base orthonormée.

Les coordonnées. Voilà l'intérêt d'une base orthonormée : chaque coordonnée est un simple produit scalaire, $x_i=⟨x,e_i⟩$, sans aucun système à résoudre. Ici $$⟨x,e_1⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(3+5)=\frac{8}{\sqrt{2}}=4\sqrt{2},⟨x,e_2⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}(3-5)=\frac{-2}{\sqrt{2}}=-\sqrt{2}.$$

Le contrôle. $$4\sqrt{2}{e}_1-\sqrt{2}{e}_2=4\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)-\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)=4(1,1)-(1,-1)=(3,5)=x.$$ On vérifie aussi $\Vert x{\Vert }^2=⟨x,e_1{⟩}^2+⟨x,e_2{⟩}^2=32+2=34=3^2+5^2$.