Des réels de somme un, et la somme de leurs carrés

Ce qu'on montre. Une minoration, par Cauchy-Schwarz appliqué dans ${\mathbb{R}}^n$ muni du produit scalaire canonique.

Le choix des deux vecteurs. Posons $x=(x_1,\dots ,x_n)$ et $u=(1,1,\dots ,1)$. Alors $$⟨x,u⟩=\sum _{i=1}^n{x}_i=1,\Vert x{\Vert }^2=\sum _{i=1}^n{x}_i^2,\Vert u{\Vert }^2=\sum _{i=1}^{n}1=n.$$

L'inégalité. Cauchy-Schwarz s'écrit $|⟨x,u⟩|⩽\Vert x\Vert \Vert u\Vert$, soit ici $$1⩽\Vert x\Vert \sqrt{n}.$$ Les deux membres étant positifs, on peut élever au carré : $1⩽n\Vert x{\Vert }^2$, c'est-à-dire $$\sum _{i=1}^n{x}_i^2⩾\frac{1}{n}.$$

Le cas d'égalité. Il y a égalité dans Cauchy-Schwarz si et seulement si $x$ et $u$ sont colinéaires. Comme $u\ne 0$, cela s'écrit $x=\lambda u$, c'est-à-dire $x_1=\cdots =x_n=\lambda$. La contrainte $\sum x_i=1$ donne alors $n\lambda =1$, soit $\lambda =\frac{1}{n}$.

Conclusion. L'égalité a lieu exactement lorsque tous les $x_i$ valent $\frac{1}{n}$, et l'on vérifie que la somme des carrés vaut alors $n\times \frac{1}{n^2}=\frac{1}{n}$.

Une lecture. Parmi toutes les façons de répartir une masse totale de $1$ entre $n$ cases, c'est la répartition uniforme qui minimise la somme des carrés. Le point délicat est le choix du vecteur $u$ : c'est lui qui transforme la contrainte de somme en un produit scalaire.