mathématiques approfondies (ECG 2e année) · Chapitre 4 · Exercice d'entraînement

Deux règles sur les orthogonaux

Produit scalaire et espaces euclidiens · Orthogonal d'un sous-espace et projection · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $E$ un espace euclidien et $F, G$ deux sous-espaces de $E$ . Montrer que $F \subset G ⟹ G^{⊥} \subset F^{⊥}, puis (F + G)^{⊥} = F^{⊥} \cap G^{⊥} .$

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Élève

Pour la première règle : $F \subset G$ donne $dim F \leq dim G$ , donc $dim G^{⊥} \leq dim F^{⊥}$ , et j'en déduis $G^{⊥} \subset F^{⊥}$ . Est-ce que ça suffit ?

Non : une inégalité entre dimensions ne donne aucune inclusion. Dans $R^{3}$ , une droite est de dimension inférieure à celle d'un plan : est-elle pour autant contenue dans n'importe quel plan ? Reviens à la définition : que signifie $x \in G^{⊥}$ ?

Élève

Ça veut dire que $⟨ x, y ⟩ = 0$ pour tout $y$ de $G$ . Je dois en tirer la même chose pour tout $y$ de $F$ .

C'est là que l'hypothèse $F \subset G$ intervient, et ce passage est court. Pour l'égalité $(F + G)^{⊥} = F^{⊥} \cap G^{⊥}$ , laquelle des deux inclusions la première règle peut-elle te fournir, et en l'appliquant à quels sous-espaces ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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