Deux règles sur les orthogonaux

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 4 — Produit scalaire et espaces euclidiens · Orthogonal d'un sous-espace et projection

Énoncé

Soit $E$ un espace euclidien et $F, G$ deux sous-espaces de $E$ . Montrer que $F \subset G ⟹ G^{⊥} \subset F^{⊥}, puis (F + G)^{⊥} = F^{⊥} \cap G^{⊥} .$

Corrigé

La première règle. Supposons $F \subset G$ et soit $x \in G^{⊥}$ . Alors $x$ est orthogonal à tout vecteur de $G$ ; comme les vecteurs de $F$ sont en particulier des vecteurs de $G$ , il est orthogonal à tout vecteur de $F$ , donc $x \in F^{⊥}$ . D'où $G^{⊥} \subset F^{⊥}$ .

Une lecture. Plus un sous-espace est gros, plus son orthogonal est petit : c'est cohérent avec $dim F^{⊥} = dim E - dim F$ .

La seconde règle, première inclusion. On a $F \subset F + G$ et $G \subset F + G$ — un vecteur $u$ de $F$ s'écrit $u + 0$ . Par la première règle appliquée deux fois, $(F + G)^{⊥} \subset F^{⊥} et (F + G)^{⊥} \subset G^{⊥},$ donc $(F + G)^{⊥} \subset F^{⊥} \cap G^{⊥}$ .

L'inclusion réciproque. Soit $x \in F^{⊥} \cap G^{⊥}$ et soit $z \in F + G$ : il existe $u \in F$ et $v \in G$ avec $z = u + v$ . Alors, par linéarité du produit scalaire en sa seconde variable, $⟨ x, z ⟩ = ⟨ x, u ⟩ + ⟨ x, v ⟩ = 0 + 0 = 0,$ le premier terme étant nul car $x \in F^{⊥}$ et $u \in F$ , le second car $x \in G^{⊥}$ et $v \in G$ . Ceci pour tout $z \in F + G$ , donc $x \in (F + G)^{⊥}$ .

Conclusion. Les deux inclusions donnent $(F + G)^{⊥} = F^{⊥} \cap G^{⊥}$ .

Le point délicat. Le sens qui demande du soin est le second : il faut revenir à un vecteur quelconque de $F + G$ , et c'est la décomposition $z = u + v$ — qui existe par définition de la somme, sans qu'elle ait besoin d'être directe — qui permet de couper le produit scalaire en deux.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.