Est-ce un produit scalaire ?

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 4 — Produit scalaire et espaces euclidiens · Produits scalaires et normes

Énoncé

Sur $R^{2}$ , les applications suivantes sont-elles des produits scalaires ? $φ (x, y) = x_{1} y_{1} + 4 x_{2} y_{2}$ , $ψ (x, y) = x_{1} y_{1} - x_{2} y_{2}$ , $χ (x, y) = x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1}$ .

Corrigé

$φ$ : oui. Bilinéaire et symétrique, de manière évidente. Et $φ (x, x) = x_{1}^{2} + 4 x_{2}^{2} ⩾ 0$ , nul seulement si $x_{1} = x_{2} = 0$ .

$ψ$ : non. $ψ ((0, 1), (0, 1)) = - 1 < 0$ : elle n'est pas positive.

$χ$ : non. $χ ((1, 0), (1, 0)) = 0$ alors que $(1, 0) \neq = 0$ : elle n'est pas définie. (Elle est pourtant bien bilinéaire et symétrique — c'est le caractère défini qui manque.)

La méthode. Bilinéarité et symétrie se lisent d'un coup d'œil sur une expression polynomiale. C'est le caractère défini positif qu'il faut tester, en calculant $φ (x, x)$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.