L'identité de polarisation

Le développement. Par bilinéarité puis symétrie, $$\Vert x+y{\Vert }^2=⟨x+y,x+y⟩=⟨x,x⟩+⟨x,y⟩+⟨y,x⟩+⟨y,y⟩=\Vert x{\Vert }^2+2⟨x,y⟩+\Vert y{\Vert }^2.$$ En isolant le terme croisé : $$⟨x,y⟩=\frac{1}{2}(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x{\Vert }^2-\Vert y{\Vert }^2),$$ ce qui est l'identité demandée.

Ce qu'elle dit. Le produit scalaire est entièrement reconstitué à partir de la norme : deux produits scalaires qui donnent la même norme sont égaux. C'est un fait qu'on emploie sans le nommer chaque fois qu'on passe d'une longueur à un angle.

La seconde question. Développons directement, en utilisant la bilinéarité et la symétrie : $$⟨x+y,x-y⟩=⟨x,x⟩-⟨x,y⟩+⟨y,x⟩-⟨y,y⟩=\Vert x{\Vert }^2-\Vert y{\Vert }^2,$$ les deux termes croisés se compensant exactement parce que $⟨y,x⟩=⟨x,y⟩$.

Conclusion. Si $\Vert x\Vert =\Vert y\Vert$, ce produit scalaire est nul : $x+y$ et $x-y$ sont orthogonaux.

L'interprétation. Dans le plan, $x$ et $y$ de même longueur sont deux côtés d'un losange ; $x+y$ et $x-y$ en sont les deux diagonales. On retrouve un fait de géométrie élémentaire : les diagonales d'un losange sont perpendiculaires. Le point délicat est que la démonstration n'utilise rien du plan — elle vaut dans tout espace muni d'un produit scalaire.