L'inégalité triangulaire et son cas d'égalité

Ce qu'on montre. Une inégalité entre nombres positifs : il suffit de comparer les carrés. On s'autorise l'inégalité de Cauchy-Schwarz et son cas d'égalité.

Le calcul. Par bilinéarité et symétrie, $$\Vert x+y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2+2⟨x,y⟩+\Vert y{\Vert }^2.$$ Or Cauchy-Schwarz donne $⟨x,y⟩⩽|⟨x,y⟩|⩽\Vert x\Vert \Vert y\Vert$. Donc $$\Vert x+y{\Vert }^2⩽\Vert x{\Vert }^2+2\Vert x\Vert \Vert y\Vert +\Vert y{\Vert }^2=(\Vert x\Vert +\Vert y\Vert {)}^2.$$ Les deux membres sont positifs et la fonction racine carrée est croissante sur ${\mathbb{R}}_{+}$ : on peut prendre la racine, $$\Vert x+y\Vert ⩽\Vert x\Vert +\Vert y\Vert .$$

Le cas d'égalité. La chaîne ci-dessus comporte deux majorations. L'égalité finale impose donc l'égalité dans chacune : $$⟨x,y⟩=|⟨x,y⟩|\text{et}|⟨x,y⟩|=\Vert x\Vert \Vert y\Vert .$$ La seconde est le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz : $x$ et $y$ sont colinéaires. La première impose de plus $⟨x,y⟩⩾0$.

La conclusion. Écrivons, si $x\ne 0$, $y=\lambda x$ : alors $⟨x,y⟩=\lambda \Vert x{\Vert }^2⩾0$ impose $\lambda ⩾0$. Il y a donc égalité si et seulement si l'un des deux vecteurs est un multiple positif ou nul de l'autre.

Le point délicat. La colinéarité seule ne suffit pas : pour $y=-x$ avec $x\ne 0$, on a $\Vert x+y\Vert =0$ alors que $\Vert x\Vert +\Vert y\Vert =2\Vert x\Vert >0$. C'est le signe qui tranche.