L'orthogonal d'une droite de ${\mathbb{R}}^3$

L'équation. Un vecteur $x=(x_1,x_2,x_3)$ appartient à $F^{\perp }$ s'il est orthogonal à tout vecteur de $F$. Comme tout vecteur de $F$ est un multiple de $(0,1,2)$ et que le produit scalaire est linéaire, il suffit qu'il soit orthogonal à ce seul générateur : $$⟨x,(0,1,2)⟩=x_2+2x_3=0.$$ Donc $F^{\perp }=\{(x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{R}}^3\mid x_2+2x_3=0\}$ : c'est un plan.

Une base. Les solutions s'écrivent $x_2=-2x_3$, les variables $x_1$ et $x_3$ étant libres : $$(x_1,-2x_3,x_3)=x_1(1,0,0)+x_3(0,-2,1).$$ La famille $((1,0,0),(0,-2,1))$ engendre $F^{\perp }$, et elle est libre : une combinaison nulle donne $x_1=0$ par la première coordonnée et $x_3=0$ par la troisième. C'est une base, donc $\dim F^{\perp }=2$.

La formule des dimensions. $(0,1,2)$ est non nul, donc $\dim F=1$, et $$\dim F+\dim F^{\perp }=1+2=3=\dim {\mathbb{R}}^3,$$ conformément au théorème du supplémentaire orthogonal.

Le contrôle. $⟨(0,1,2),(1,0,0)⟩=0$ et $⟨(0,1,2),(0,-2,1)⟩=-2+2=0$ : les deux vecteurs de la base trouvée sont bien orthogonaux au générateur de $F$.