La distance d'un point à un plan

L'orthogonal. $F$ est le noyau de $x\mapsto ⟨x,(1,1,1)⟩$, donc $F$ est l'ensemble des vecteurs orthogonaux à $(1,1,1)$, c'est-à-dire $F=\mathrm{Vect}((1,1,1){)}^{\perp }$. En prenant l'orthogonal et en utilisant $(G^{\perp }{)}^{\perp }=G$ : $$F^{\perp }=\mathrm{Vect}((1,1,1)),\dim F=2,\dim F^{\perp }=1.$$

La décomposition. On cherche $w=\lambda (1,1,1)$ tel que $v=u-w$ appartienne à $F$, c'est-à-dire tel que la somme des coordonnées de $v$ soit nulle : $$(3-\lambda )+(0-\lambda )+(0-\lambda )=3-3\lambda =0⟹\lambda =1.$$ Donc $$w=(1,1,1),v=u-w=(2,-1,-1),$$ et l'on contrôle $2-1-1=0$ : $v\in F$. Enfin $\Vert w\Vert =\sqrt{3}$.

La minoration. Soit $x\in F$ quelconque. Écrivons $$u-x=\underset{\in F}{\underbrace{(v-x)}}+\underset{\in F^{\perp }}{\underbrace{w}},$$ la première appartenance parce que $F$ est un sous-espace vectoriel. Ces deux vecteurs sont orthogonaux, donc le théorème de Pythagore donne $$\Vert u-x{\Vert }^2=\Vert v-x{\Vert }^2+\Vert w{\Vert }^2⩾\Vert w{\Vert }^2,$$ d'où $\Vert u-x\Vert ⩾\Vert w\Vert =\sqrt{3}$.

Le cas d'égalité. Il y a égalité si et seulement si $\Vert v-x{\Vert }^2=0$, c'est-à-dire $x=v$, le produit scalaire étant défini.

Conclusion. Le vecteur de $F$ le plus proche de $u$ est $v=(2,-1,-1)$, et la distance de $u$ à $F$ vaut $\sqrt{3}$. C'est le principe des moindres carrés : la meilleure approximation dans un sous-espace est la composante selon ce sous-espace, et l'erreur est la composante orthogonale.