mathématiques approfondies (ECG 2e année) · Chapitre 4 · Exercice d'entraînement

La distance d'un point à un plan

Produit scalaire et espaces euclidiens · Orthogonal d'un sous-espace et projection · ★★★ niveau 3 (difficile)

Énoncé

Dans ${\mathbb{R}}^3$ canonique, soit $F=\{(x,y,z)\mid x+y+z=0\}$ et $u=(3,0,0)$. Écrire $u=v+w$ avec $v\in F$ et $w\in F^{\perp }$, puis montrer que $\Vert u-x\Vert ⩾\Vert w\Vert$ pour tout $x\in F$, avec égalité seulement en $x=v$.

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.