Le théorème de Pythagore pour une famille orthogonale

Le développement. Par bilinéarité, le carré de la norme d'une somme se développe en une double somme : $$\Vert \sum _{i=1}^p{u}_i{\Vert }^2=⟨\sum _{i=1}^p{u}_i,\sum _{j=1}^p{u}_j⟩=\sum _{i=1}^p\sum _{j=1}^p⟨u_i,u_j⟩.$$

L'hypothèse d'orthogonalité. Elle dit que $⟨u_i,u_j⟩=0$ dès que $i\ne j$. Dans la double somme, seuls survivent les $p$ termes diagonaux $i=j$ : $$\sum _{i=1}^p\sum _{j=1}^p⟨u_i,u_j⟩=\sum _{i=1}^p⟨u_i,u_i⟩=\sum _{i=1}^p\Vert u_i{\Vert }^2.$$ C'est l'égalité annoncée. Pour $p=2$ on retrouve le théorème de Pythagore du cours.

La vérification. Les trois produits scalaires croisés sont nuls : $$⟨u_1,u_2⟩=1-1+0=0,⟨u_1,u_3⟩=1+1-2=0,⟨u_2,u_3⟩=1-1+0=0.$$ La famille est bien orthogonale. Les carrés des normes valent $$\Vert u_1{\Vert }^2=1+1+1=3,\Vert u_2{\Vert }^2=1+1=2,\Vert u_3{\Vert }^2=1+1+4=6,$$ de somme $11$.

Le membre de gauche. $u_1+u_2+u_3=(1+1+1,1-1+1,1+0-2)=(3,1,-1)$, dont le carré de la norme vaut $$9+1+1=11.$$ Les deux membres coïncident.

Une remarque. Aucun des trois vecteurs n'est nul, donc la famille est libre ; comptant trois vecteurs dans ${\mathbb{R}}^3$, c'est une base orthogonale.