Norme d'une somme

Développons les deux carrés par bilinéarité :

$$\Vert x+y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2+2⟨x,y⟩+\Vert y{\Vert }^2,\Vert x-y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2-2⟨x,y⟩+\Vert y{\Vert }^2.$$

En additionnant, les termes croisés se compensent : $2\Vert x{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2$.

Interprétation. Dans le plan, $x+y$ et $x-y$ sont les deux diagonales du parallélogramme construit sur $x$ et $y$. L'identité dit que la somme des carrés des diagonales égale la somme des carrés des quatre côtés — c'est le « théorème de la médiane », ou identité du parallélogramme.

Contrôle. Avec $x=(3,0)$ et $y=(0,4)$ : $\Vert x+y{\Vert }^2=25$, $\Vert x-y{\Vert }^2=25$, et $2\times 9+2\times 16=50$.