Normer un vecteur

La norme. $$\Vert u{\Vert }^2=2^2+(-1{)}^2+2^2=4+1+4=9,\text{donc}\Vert u\Vert =3.$$

Le vecteur unitaire. Normer un vecteur non nul, c'est le diviser par sa norme : $$e=\frac{1}{\Vert u\Vert }u=\frac{1}{3}(2,-1,2)=(\frac{2}{3},-\frac{1}{3},\frac{2}{3}).$$ Le coefficient $\frac{1}{3}$ est strictement positif, donc $e$ a bien la même direction et le même sens que $u$.

La vérification. $$\Vert e{\Vert }^2=(\frac{2}{3}{)}^2+(-\frac{1}{3}{)}^2+(\frac{2}{3}{)}^2=\frac{4}{9}+\frac{1}{9}+\frac{4}{9}=\frac{9}{9}=1,$$ donc $\Vert e\Vert =1$.

Pourquoi cela marche toujours. Pour tout réel $\lambda$ et tout vecteur $x$, la bilinéarité donne $$\Vert \lambda x{\Vert }^2=⟨\lambda x,\lambda x⟩={\lambda }^2⟨x,x⟩={\lambda }^2\Vert x{\Vert }^2,\text{donc}\Vert \lambda x\Vert =|\lambda |\Vert x\Vert .$$ Avec $\lambda =\frac{1}{\Vert u\Vert }>0$, on obtient $\Vert e\Vert =\frac{1}{\Vert u\Vert }\Vert u\Vert =1$.

Attention. L'opération n'a de sens que si $u\ne 0$ : le vecteur nul n'a pas de direction, et l'on ne peut pas diviser par $0$.