Orthogonal d'un orthogonal

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 4 — Produit scalaire et espaces euclidiens · Orthogonal d'un sous-espace

Énoncé

Dans $R^{3}$ , soit $F = Vect ((1, 0, 1), (0, 1, 1))$ . Déterminer $F^{⊥}$ , puis $(F^{⊥})^{⊥}$ , et vérifier que l'on retrouve $F$ .

Corrigé

$F^{⊥}$ . Un vecteur $(x, y, z)$ y est si et seulement s'il est orthogonal aux deux générateurs :

$x + z = 0 et y + z = 0,$

d'où $x = y = - z$ . Donc $F^{⊥} = Vect ((1, 1, - 1))$ , de dimension $1 = 3 - 2$ .

$(F^{⊥})^{⊥}$ . C'est l'ensemble des $(x, y, z)$ tels que $x + y - z = 0$ , un plan de dimension $2$ . Une base : $((1, 0, 1), (0, 1, 1))$ — on vérifie $1 + 0 - 1 = 0$ et $0 + 1 - 1 = 0$ .

C'est exactement $F$ . On retrouve bien $(F^{⊥})^{⊥} = F$ .

Le raccourci. On aurait pu conclure sans calcul : $F$ est toujours inclus dans $(F^{⊥})^{⊥}$ , et les deux ont la même dimension $3 - 1 = 2$ . L'inclusion entre sous-espaces de même dimension est une égalité.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.