Orthogonalité pour un produit scalaire à poids

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 4 — Produit scalaire et espaces euclidiens · Calculs de produit scalaire

Énoncé

Sur $R^{2}$ , on pose $⟨ x, y ⟩ = 3 x_{1} y_{1} + x_{2} y_{2}$ (on admet que c'est un produit scalaire). Calculer $∥ (1, 2) ∥$ , puis déterminer le réel $t$ tel que $(1, 2)$ et $(t, 1)$ soient orthogonaux.

Corrigé

La norme. Par définition, $∥ x ∥^{2} = ⟨ x, x ⟩$ . Pour $x = (1, 2)$ : $∥ (1, 2) ∥^{2} = 3 \times 1 \times 1 + 2 \times 2 = 3 + 4 = 7, donc ∥ (1, 2) ∥ = 7 .$ On notera que ce n'est pas $1 + 4 = 5$ : la norme dépend du produit scalaire choisi, et celui-ci donne trois fois plus de poids à la première coordonnée.

La condition d'orthogonalité. Deux vecteurs sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul. Ici $⟨(1, 2), (t, 1)⟩ = 3 \times 1 \times t + 2 \times 1 = 3 t + 2.$

La résolution. $3 t + 2 = 0$ donne $t = - \frac{2}{3} .$

Le contrôle. Avec $t = - \frac{2}{3}$ , le second vecteur est $(- \frac{2}{3}, 1)$ et $⟨(1, 2), (- \frac{2}{3}, 1) ⟩ = 3 \times (- \frac{2}{3}) + 2 \times 1 = - 2 + 2 = 0.$

La comparaison. Pour le produit canonique, l'orthogonalité s'écrirait $t + 2 = 0$ , soit $t = - 2$ : une autre valeur. Deux produits scalaires ne s'accordent pas sur les angles droits.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.