Orthogonalité relative

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 4 — Produit scalaire et espaces euclidiens · Produits scalaires et normes

Énoncé

Dans $R^{2}$ , les vecteurs $u = (1, 1)$ et $v = (4, - 1)$ sont-ils orthogonaux pour le produit canonique ? Pour $⟨ x, y ⟩ = x_{1} y_{1} + 4 x_{2} y_{2}$ ?

Corrigé

Produit canonique. $⟨ u, v ⟩ = 1 \times 4 + 1 \times (- 1) = 3 \neq = 0$ : non orthogonaux.

Second produit. $⟨ u, v ⟩ = 1 \times 4 + 4 \times 1 \times (- 1) = 4 - 4 = 0$ : oui, orthogonaux.

La leçon. L'orthogonalité n'est pas une propriété des vecteurs seuls : elle dépend du produit scalaire choisi. Un énoncé qui dit « orthogonaux » sans préciser le produit sous-entend toujours le produit canonique.

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