Produit scalaire, normes, et Cauchy-Schwarz sur un exemple

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 4 — Produit scalaire et espaces euclidiens · Calculs de produit scalaire

Énoncé

Dans $R^{3}$ muni du produit scalaire canonique, soient $u = (1, 2, 2)$ et $v = (2, - 1, 0)$ . Calculer $⟨ u, v ⟩$ , $∥ u ∥$ et $∥ v ∥$ , puis vérifier l'inégalité de Cauchy-Schwarz.

Corrigé

Le produit scalaire. Il s'obtient en sommant les produits des coordonnées de même rang : $⟨ u, v ⟩ = 1 \times 2 + 2 \times (- 1) + 2 \times 0 = 2 - 2 + 0 = 0.$ Ce produit est nul : $u$ et $v$ sont orthogonaux pour le produit canonique.

Les deux normes. $∥ u ∥^{2} = 1^{2} + 2^{2} + 2^{2} = 1 + 4 + 4 = 9 ⟹ ∥ u ∥ = 3,$ $∥ v ∥^{2} = 2^{2} + (- 1)^{2} + 0^{2} = 4 + 1 = 5 ⟹ ∥ v ∥ = 5 .$

L'inégalité de Cauchy-Schwarz. Elle affirme $⟨ u, v ⟩ ⩽ ∥ u ∥ ∥ v ∥$ . Ici $⟨ u, v ⟩ = 0 et ∥ u ∥ ∥ v ∥ = 35 \approx 6, 7.$ L'inégalité $0 ⩽ 35$ est vérifiée, et elle est stricte : le cas d'égalité correspondrait à $u$ et $v$ colinéaires, ce qu'ils ne sont pas — la troisième coordonnée de $v$ est nulle alors que celle de $u$ ne l'est pas.

Un contrôle par Pythagore. $u$ et $v$ étant orthogonaux, on doit avoir $∥ u + v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} + ∥ v ∥^{2} = 9 + 5 = 14$ . Or $u + v = (3, 1, 2)$ , dont le carré de la norme vaut $9 + 1 + 4 = 14$ . Cela concorde.

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