Produit scalaire, normes, et Cauchy-Schwarz sur un exemple

Le produit scalaire. Il s'obtient en sommant les produits des coordonnées de même rang : $$⟨u,v⟩=1\times 2+2\times (-1)+2\times 0=2-2+0=0.$$ Ce produit est nul : $u$ et $v$ sont orthogonaux pour le produit canonique.

Les deux normes. $$\Vert u{\Vert }^2=1^2+2^2+2^2=1+4+4=9⟹\Vert u\Vert =3,$$ $$\Vert v{\Vert }^2=2^2+(-1{)}^2+0^2=4+1=5⟹\Vert v\Vert =\sqrt{5}.$$

L'inégalité de Cauchy-Schwarz. Elle affirme $|⟨u,v⟩|⩽\Vert u\Vert \Vert v\Vert$. Ici $$|⟨u,v⟩|=0\text{et}\Vert u\Vert \Vert v\Vert =3\sqrt{5}\approx 6,7.$$ L'inégalité $0⩽3\sqrt{5}$ est vérifiée, et elle est stricte : le cas d'égalité correspondrait à $u$ et $v$ colinéaires, ce qu'ils ne sont pas — la troisième coordonnée de $v$ est nulle alors que celle de $u$ ne l'est pas.

Un contrôle par Pythagore. $u$ et $v$ étant orthogonaux, on doit avoir $\Vert u+v{\Vert }^2=\Vert u{\Vert }^2+\Vert v{\Vert }^2=9+5=14$. Or $u+v=(3,1,2)$, dont le carré de la norme vaut $9+1+4=14$. Cela concorde.