mathématiques approfondies (ECG 2e année) · Chapitre 4 · Exercice d'entraînement

Symétriques et antisymétriques sont orthogonales

Produit scalaire et espaces euclidiens · Reconnaître un produit scalaire · ★★★ niveau 3 (difficile)

Énoncé

Sur $E={\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ muni de $⟨A,B⟩=\mathrm{Tr}\left({}^{t}AB\right)$, on note $\mathcal{S}$ le sous-espace des matrices symétriques et $\mathcal{A}$ celui des matrices antisymétriques. Montrer que $\mathcal{S}$ et $\mathcal{A}$ sont orthogonaux, puis que $\mathcal{A}={\mathcal{S}}^{\perp }$.

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.