Symétriques et antisymétriques sont orthogonales

L'expression en coordonnées. On admet, ou l'on vérifie, que $⟨A,B⟩={\sum }_{i,j}{a}_{i,j}{b}_{i,j}$ : le coefficient diagonal d'indice $i$ de ${}^{t}AB$ vaut ${\sum }_j{a}_{j,i}{b}_{j,i}$, et l'on somme sur $i$.

Les deux sous-espaces sont orthogonaux. Soient $S\in \mathcal{S}$ (donc $s_{j,i}=s_{i,j}$) et $M\in \mathcal{A}$ (donc $m_{j,i}=-m_{i,j}$, et en particulier $m_{i,i}=0$). Groupons la somme par paires d'indices symétriques : $$⟨S,M⟩=\sum _i{s}_{i,i}{m}_{i,i}+\sum _{i<j}(s_{i,j}{m}_{i,j}+s_{j,i}{m}_{j,i})=0+\sum _{i<j}(s_{i,j}{m}_{i,j}-s_{i,j}{m}_{i,j})=0.$$ Tout élément de $\mathcal{S}$ est donc orthogonal à tout élément de $\mathcal{A}$ : $\mathcal{A}\subset {\mathcal{S}}^{\perp }$.

L'égalité, par les dimensions. C'est le point délicat : une inclusion ne suffit pas, on compte. On sait que $$\dim \mathcal{S}=\frac{n(n+1)}{2},\dim \mathcal{A}=\frac{n(n-1)}{2}$$ — une matrice symétrique est déterminée par ses coefficients d'indices $i⩽j$, une antisymétrique par ceux d'indices $i<j$, la diagonale étant nulle. Par ailleurs, le théorème du supplémentaire orthogonal donne $$\dim {\mathcal{S}}^{\perp }=n^2-\dim \mathcal{S}=n^2-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{2n^2-n^2-n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}=\dim \mathcal{A}.$$

Conclusion. $\mathcal{A}$ est inclus dans ${\mathcal{S}}^{\perp }$ et a la même dimension : les deux sous-espaces sont égaux, $$\mathcal{A}={\mathcal{S}}^{\perp },{\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})=\mathcal{S}\oplus \mathcal{A},$$ la seconde égalité étant celle du supplémentaire orthogonal. La décomposition d'une matrice en ses parties symétrique et antisymétrique est donc, pour ce produit scalaire, une décomposition orthogonale.