Un orthogonal à calculer

Produit scalaire et espaces euclidiens · Orthogonal d'un sous-espace · niveau 2

Énoncé

Dans $R^{3}$ muni du produit canonique, déterminer $F^{⊥}$ pour $F = Vect ((1, 2, - 1))$ , puis vérifier la formule des dimensions.

$x = (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ appartient à $F^{⊥}$ si et seulement s'il est orthogonal au générateur :

$x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} = 0.$

C'est un plan. Une base : en prenant $x_{2}$ et $x_{3}$ comme paramètres, $x_{1} = x_{3} - 2 x_{2}$ , d'où

$F^{⊥} = Vect ((- 2, 1, 0), (1, 0, 1)) .$

Vérification. $⟨(1, 2, - 1), (- 2, 1, 0)⟩ = - 2 + 2 + 0 = 0$ , et $⟨(1, 2, - 1), (1, 0, 1)⟩ = 1 + 0 - 1 = 0$ .

Dimensions. $dim F + dim F^{⊥} = 1 + 2 = 3 = dim R^{3}$ .

À retenir. L'orthogonal d'une droite engendrée par $u$ est le plan d'équation $⟨ u, x ⟩ = 0$ : il suffit d'écrire une équation.