Un produit scalaire à termes croisés

Bilinéarité et symétrie. Chacun des quatre termes est de la forme $c{x}_i{y}_j$ : $\phi$ est linéaire en $x$ à $y$ fixé, et en $y$ à $x$ fixé. Elle est symétrique car l'échange de $x$ et $y$ transforme $-x_1{y}_2-x_2{y}_1$ en $-y_1{x}_2-y_2{x}_1$, qui est la même expression, les deux autres termes étant clairement symétriques.

Caractère défini positif. C'est le point délicat. On calcule $$\phi (x,x)=x_1^2-2x_1{x}_2+3x_2^2=(x_1-x_2{)}^2+2x_2^2,$$ en complétant le carré : $x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2=(x_1-x_2{)}^2$, et il reste $3x_2^2-x_2^2=2x_2^2$. Cette somme de deux carrés est positive, et elle est nulle si et seulement si les deux carrés le sont, c'est-à-dire $x_2=0$ puis $x_1=x_2=0$. Donc $\phi (x,x)⩾0$ avec égalité seulement en $x=0$ : $\phi$ est un produit scalaire.

Une norme. $\phi ((1,1),(1,1))=(1-1{)}^2+2\cdot 1=2$, donc $\Vert (1,1)\Vert =\sqrt{2}$.

L'orthogonalité relative. Pour $x=(1,0)$ et $y=(1,1)$ : $$\phi (x,y)=1\cdot 1-1\cdot 1-0\cdot 1+3\cdot 0\cdot 1=0,$$ donc ils sont orthogonaux pour $\phi$. En revanche, pour le produit canonique, $⟨(1,0),(1,1)⟩=1\cdot 1+0\cdot 1=1\ne 0$ : ils ne le sont pas.

Ce qu'il faut en retenir. « Orthogonal » n'a de sens que relativement à un produit scalaire donné. Un même espace en porte une infinité, et ils ne s'accordent pas sur les angles droits.