Un produit scalaire construit sur trois valeurs

Bilinéarité et symétrie. À $Q$ fixé, $P\mapsto ⟨P,Q⟩$ est une somme de trois termes $P(a)\times Q(a)$, et $P\mapsto P(a)$ est linéaire : la somme de trois applications linéaires est linéaire. Chaque terme étant inchangé quand on échange $P$ et $Q$, l'expression est symétrique — d'où la linéarité en $Q$ aussi.

Positivité. $⟨P,P⟩=P(0{)}^2+P(1{)}^2+P(2{)}^2⩾0$, comme somme de trois carrés.

Caractère défini — le point délicat. Supposons $⟨P,P⟩=0$. Une somme de carrés de réels est nulle seulement si chacun l'est, donc $P(0)=P(1)=P(2)=0$. Le polynôme $P$ possède alors trois racines distinctes, alors qu'il est de degré au plus $2$. Un polynôme non nul de degré $d$ a au plus $d$ racines : $P$ est donc le polynôme nul. C'est ici, et seulement ici, que la restriction à ${\mathbb{R}}_2[x]$ sert : sur ${\mathbb{R}}_3[x]$, le polynôme $x(x-1)(x-2)$ serait non nul et de « norme » nulle.

La norme demandée. Pour $P=x^2-x$ : $P(0)=0$, $P(1)=0$ et $P(2)=4-2=2$. Donc $$\Vert P{\Vert }^2=0^2+0^2+2^2=4,\Vert P\Vert =2.$$

Le point à retenir. Un produit scalaire par évaluation en $n+1$ points distincts fonctionne sur ${\mathbb{R}}_n[x]$ et pas au-delà : le nombre de points doit dépasser le degré, sinon le caractère défini tombe.