Un produit scalaire sur les matrices

Le calcul général. Le coefficient diagonal d'indice $i$ de ${}^{t}AB$ vaut $$({}^{t}AB{)}_{i,i}=\sum _k({}^{t}A{)}_{i,k}{b}_{k,i}=\sum _k{a}_{k,i}{b}_{k,i},$$ puisque $({}^{t}A{)}_{i,k}=a_{k,i}$. En sommant sur $i$ : $$⟨A,B⟩=\sum _i\sum _k{a}_{k,i}{b}_{k,i}=\sum _{i,j}{a}_{i,j}{b}_{i,j}.$$ Autrement dit : on multiplie les coefficients qui se font face, et on additionne. C'est le produit scalaire canonique de ${\mathbb{R}}^4$, écrit sur des matrices $2\times 2$ — d'où bilinéarité, symétrie et caractère défini positif, avec $⟨A,A⟩={\sum }_{i,j}{a}_{i,j}^2$.

Le produit scalaire demandé. $$⟨A,B⟩=1\times 0+2\times 1+0\times (-1)+3\times 1=5.$$

La norme. $\Vert A{\Vert }^2=1^2+2^2+0^2+3^2=14$, donc $\Vert A\Vert =\sqrt{14}$.

Contrôle par la définition. ${}^{t}AB=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -3& 5\end{array}\right)$, de coefficients diagonaux $0$ et $5$ : la trace vaut $5$.

Le point à retenir. Ce produit scalaire est celui du chapitre 1, où l'on avait montré $\mathrm{Tr}({}^{t}AA)=\sum a_{i,j}^2$, et où l'on avait déduit de cette somme de carrés que la quantité ne s'annule qu'en $A=0$ : c'était déjà le caractère défini positif, sans le nom.