Une base orthonormée par Schmidt

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques approfondies (ECG 2e année), chapitre 4 — Produit scalaire et espaces euclidiens · Familles orthogonales et bases orthonormées

Énoncé

Dans $R^{2}$ muni du produit canonique, orthonormaliser la famille $u_{1} = (3, 4)$ , $u_{2} = (1, 0)$ .

Corrigé

Premier vecteur. $∥ u_{1} ∥ = 9 + 16 = 5$ , donc $e_{1} = \frac{1}{5} (3, 4) = (0, 6; 0, 8)$ .

Second vecteur. On retire à $u_{2}$ sa part selon $e_{1}$ :

$⟨ u_{2}, e_{1} ⟩ = 1 \times 0, 6 + 0 \times 0, 8 = 0, 6, r = u_{2} - 0, 6 e_{1} = (1, 0) - (0, 36; 0, 48) = (0, 64; - 0, 48) .$

Sa norme vaut $0, 4096 + 0, 2304 = 0, 64 = 0, 8$ , donc

$e_{2} = \frac{1}{0 , 8} (0, 64; - 0, 48) = (0, 8; - 0, 6) .$

Vérification. $⟨ e_{1}, e_{2} ⟩ = 0, 48 - 0, 48 = 0$ , et $∥ e_{1} ∥ = ∥ e_{2} ∥ = 1$ .

Remarque. Le procédé n'est pas exigible, mais le geste l'est : retirer à un vecteur sa projection sur un autre pour les rendre orthogonaux.

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