Une droite du plan et sa perpendiculaire

L'orthogonal. $x=(x_1,x_2)$ appartient à $F^{\perp }$ si et seulement si il est orthogonal au générateur $(3,4)$ : $$3x_1+4x_2=0.$$ Les solutions s'écrivent $x_1=-\frac{4}{3}{x}_2$, ou plus simplement, en prenant $x_2=3$ : le vecteur $(-4,3)$ engendre. Donc $$F^{\perp }=\mathrm{Vect}((-4,3)),\dim F^{\perp }=1=2-1.$$

Une base orthonormée de $F$. $\Vert (3,4){\Vert }^2=9+16=25$, donc $\Vert (3,4)\Vert =5$ et $$e_1=\frac{1}{5}(3,4)$$ est unitaire ; à lui seul il forme une base orthonormée de la droite $F$.

Une base orthonormée de $F^{\perp }$. $\Vert (-4,3){\Vert }^2=16+9=25$, donc $$e_2=\frac{1}{5}(-4,3),$$ base orthonormée de $F^{\perp }$.

Le contrôle. $⟨e_1,e_2⟩=\frac{1}{25}(3\times (-4)+4\times 3)=\frac{1}{25}(-12+12)=0$, et les deux vecteurs sont unitaires : $(e_1,e_2)$ est une base orthonormée de ${\mathbb{R}}^2$, adaptée à la décomposition ${\mathbb{R}}^2=F\oplus F^{\perp }$.

Une remarque. Passer de $(a,b)$ à $(-b,a)$ produit toujours un vecteur orthogonal dans ${\mathbb{R}}^2$, puisque $a(-b)+ba=0$ : c'est le quart de tour.